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048
金融计量学：时间序列分析视角（第四版）

根据滞后算子的性质，滞后算子对常数项并不产生影响，所以式（3．36）等号右侧的第一项就是 \( \left( 1 - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } \right) ^ { - 1 } c \) 。从而，式（3．36）可以写成
\[
\begin{equation*}
y _ { t } = \frac { c } { 1 - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } } + \frac { 1 } { 1 - \alpha _ { 1 } L - \alpha _ { 2 } L ^ { 2 } } \varepsilon _ { t } \tag{3.37}
\end{equation*}
\]

式（3．37）实际上给出了一个非常有用的结果。因为这个结果将 \( y _ { t } \) 表示成一个常数和随机变量 \( \varepsilon _ { t } \) 的函数，所以可以通过研究随机扰动项的特性来推导出序列 \( y _ { t } \) 的相关特性。

利用滞后算子，还可以简化高阶差分方程的表达式。例如，对于 \( p \) 阶差分方程，利用滞后算子可以写为
\[
\begin{equation*}
\left( 1 - \alpha _ { 1 } L - \alpha _ { 2 } L ^ { 2 } - \cdots - \alpha _ { p } L ^ { p } \right) y _ { t } = \varepsilon _ { t } \tag{3.38}
\end{equation*}
\]

或者写成更为简洁的形式
\[
\alpha ( L ) y _ { t } = \varepsilon _ { t }
\]

其中，\( \alpha ( L ) = 1 - \alpha _ { 1 } L - \alpha _ { 2 } L ^ { 2 } - \cdots - \alpha _ { p } L ^ { p } \) 。由此可知，
\[
\alpha ( 1 ) = 1 - \alpha _ { 1 } - \alpha _ { 2 } - \cdots - \alpha _ { p }
\]

这些表达方式在后续的学习中将会出现得更多，希望读者认真掌握。
3．4．2 差分方程的稳定性
差分方程的稳定性是指由差分方程生成的数据的收敛性。这里需要介绍与差分方程相关的特征方程（characteristic equation）和逆特征方程（inverse characteristic equation）。对于一般的 \( p \) 阶差分方程（3．38）来说，其特征方程为
\[
\begin{equation*}
\lambda ^ { p } - \alpha _ { 1 } \lambda ^ { p - 1 } - \alpha _ { 2 } \lambda ^ { p - 2 } - \cdots - \alpha _ { p } = 0 \tag{3.39}
\end{equation*}
\]

注意式（3．38）与式（3．39）在书写形式上的联系和区别。如果差分方程中的系数均为已知，则可以求出特征方程（3．39）的根，称为特征根（characteristic root 或 eigenvalue），而这些特征根的大小决定了相应的差分方程系统的稳定性。

可以证明，如果特征方程（3．39）的所有根（或者根的模）均落在单位圆内，差分方程系统就是稳定的。之所以经常使用＂单位圆＂（如图3－4所示）来比照特征根的＂大小＂，是因为特征根可能是实数，也可能是复数，但无论什么情况，其根的模总可以真实地体现在单位圆内或外的一点，从而可以很方便地通过比较其是否落在单位圆内来判断差分方程系统的稳定性。

与特征方程仅有一字之差的逆特征方程也经常被许多教材和相关文献使用，所以这里同样给出逆特征方程的概念。与 \( p \) 阶差分方程相对应的逆特征方程的表达式为
\[
\begin{equation*}
1 - \alpha _ { 1 } z - \alpha _ { 2 } z ^ { 2 } - \cdots - \alpha _ { p } z ^ { p } = 0 \tag{3.40}
\end{equation*}
\]

注意逆特征方程（3．40）与差分方程（3．38）的对应关系。同时，对比式（3．39）与式（3．40）不难看出，特征方程的根与逆特征方程的根互为倒数。因此，如果使用逆特征方程来描述相关联的差分方程的稳定性，则要求逆特征方程的所有根（称为逆特征根）均落在单位圆外！图3－5给出了与图3－4相对应的逆特征根与单位圆的关系图。